Claudia Chiabai è nata ad Avellaneda (Argentina) il 21/04/1957 da Giovanni emigrante delle Valli del Natisione, reduce della Campagna di Russia e da mamma Carla, entrambi sarti.

Nel 1961 la famiglia rientra in Italia ma, a causa della mancanza di lavoro, è costretta ad emigrare nella zona carbonifera del Belgio, spostandosi tra Charleroi e Tamines dove papà svolge il lavoro di minatore.
Nel 1969 a causa di una grave malattia del padre la famiglia rientra nelle Valli del Natisone per trasferirsi a Cividale del Friuli nel 1971, dove tutt'ora risiede. In quegli anni vive il dramma dell'alcolismo del padre conseguenza della difficile esperienza di vita, assistendolo personalmente negli ultimi anni di vita poiché divenuto invalido.

Claudia dal 1976 all'inizio del 2013 svolge attività lavorativa nel Servizio Sanitario Regionale.
Dal Febbraio 2013 al Gennaio 2017 è dipendente del Ministero dell'Economia e delle Finanze - Ragioneria Territoriale dello Stato.
Dal 9 gennaio 2017, avendo maturato i requisito, viene collocata in pensione.
Nel 2019 acquisisce l'abilitazione e svolge attività di Consulente assicurativo-finanziario iscritta all'Albo nazionale.

Da sempre attiva nel mondo del volontariato, dopo un'esperienza sindacale di categoria, nel 1995 fonda e presiede il Circolo dipendenti dell’USL 5 Cividalese, che organizzazione la Mostra dell’hobby e tempo libero, esposizioni pittoriche di friulani famosi, concerti il più ricordato dei quali quello del Piccolo Coro dell’Antoniano di Bologna, diretto da Mariele Ventre, realizzato in occasione della Settimana del Bambino.
In veste di Presidente del sodalizio organizza attività sportive quali la squadra di calcio dell’ospedale e il torneo di volley cividalese che ha preceduto la nascita del torneo dei Frutaz.
Memorabile il viaggio di un nutrito gruppo di operatori sanitari a Charleroi (Belgio) per visitare la Centrale di emergenza dei vigili del fuoco, precursori del nostro Servizio di emergenza 118; in tale occasione si disputa l'amichevole di calcio con la squadra del locale ospedale. L'esperienza si ripete in Germania.

Dal 1994 al 1996 componente del Coordinamento di difesa dei piccoli ospedali che promosse il Referendum Regionale per l’abrogazione della Legge regionale 13/1995 detta "Riforma Fasola" che pose le basi per la dismissione dell'ospedale di Cividale.

Da vent’anni componente del gruppo missionario parrocchiale Mercatino benefico di Rualis, che, realizzando manufatti in maglia di lana e cotone, nonché lavori di cucito e ricamo, bricolage, raccoglie fondi per le Missioni saveriane; attualmente sostiene il dott. Claudio Modonutti di Bottenicco in Bangladesh, Padre Franco Qualizza di Stregna in Indonesia e Padre Armando Colletto di Fagagna in Camerun.

Nel 2010 eletta Consigliere comunale di Cividale del Friuli per il Partito Democratico. Rieletta nel 2015, nel febbraio 2017 costituisce il Gruppo Misto del Consiglio comunale di Cividale del Friuli.

Promotrice del Progetto di istituzione del Parco fluviale transfrontaliero del Natisone, dal 2014 è Presidente dell’Associazione Parco del Natisone per la quale ha ideato FestinParco, manifestazione culturale che promuove il territorio che si sviluppa lungo il fiume.

E' promotrice del Contratto di Fiume del Natisone progetto pilota per il Friuli Venezia Giulia.

Si registrano numerose presenze sulla stampa locale e sulle televisioni locali e regionale

Nel 2019 fonda il nuovo soggetto politico UNIONspes.